DIVISIBILIDAD. MCM y MCD

La división, es posible en el conjunto de los numeros enteros siempre que el dividendo sea multiplo del divisor.

Múltiplos de un número

• Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un número natural. Por ejemplo, si multiplicamos 3x2=6. Decimos entonces que 6 es multiplo de 3.

Divisor de un número

• Un número es divisor de otro si cuando dividimos el segundo entre el primero, el r esto de la división es 0. Por ejemplo, decimos que 2 es divisor de 4, porque al dividir 4 entre 2 la division es exacta; da 2 y queda de resto 0.

Números primos y compuestos

Un número es primo si tiene solamente dos divisores: él mismo y la unidad. Es decir, que sólo se puede dividir (dando una división exacta) por ese mismo número y por uno.

Los números primos hasta el 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,

37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 y 71.

Un número es compuesto si tiene 2 o más divisores.

Criterios de divisibilidad

Para saber si un número es divisible por algún otro número utilizamos los llamados criterios de divisibilidad. Son estos:

· Divisibilidad por 2: un número es divisible por dos si termina en cero o en cifra par.

· Divisibilidad por 3: un número es divisible por tres, si la suma de sus cifras es múltiplo de tres.

· Divisibilidad por 4: las dos últimas cifras tienen que ser dos ceros o un número múltiplo de 4.

· Divisibilidad por 5: un número es divisible por cinco cuando acaba en cero o en cinco.

· Divisibilidad por 6: tiene que ser divisible por 2 y por 3.

· Divisibilidad por 9: un número es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve.

· Divisibilidad por 10: tiene que terminar en cero. de manera similar, si termina en 00 es divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1000.

· Divisibilidad por 11: un número es divisible por once cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupa la posición par y la suma de las cifras que ocupan la posición impar son múltiplo de once.

· Divisibilidad por 100: un número es divisible por cien cuando las dos últimas cifras son 00.

Divisores comunes a dos números. Máximo común divisor (M.C.D.)

El M.C.D. (Máximo común divisor) de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Para calcular el M.C.D. de varios números:

1º- Se escribe cada número como producto de sus factores primos.

2º- El M.C.D. es igual al producto de los factores primos comunes

elevados al menor exponente.

Ejemplo:

24 2 24 = 2 · 2 · 2 · 3 · 1 = 23 · 3

12 2

  6 2

  3 3

  1 1

     0

30 2 30 = 2 · 3 · 5

15 3

  4 5

  1 1

     0

M.C.D. (24, 30) = 2 · 3 = 6

Múltiplos comunes a dos números. Mínimo común múltiplo (M.C.M.)

El M.C.M. (Mínimo común múltiplo) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.

Para calcular el M.C.M. de varios números:

1º- Se escribe cada número como producto de sus factores primos.

2º- El M.C.M. es igual al producto de los factores primos, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.

Ejemplo:

24 2 24 = 2 · 2 · 2 · 3 · 1 = 23 · 3

12 2

  6 2

  3 3

  1 1

     0

30 2 30 = 2 · 3 · 5

15 3

  5 5

  1 1

     0

M.C.M. (24, 30) = 23 · 3 · 5 = 8 · 3 · 5 = 120

LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Al describir la historia de las matemáticas lo adecuado sería ofrecer una visión integral que incorporara las contribuciones matemáticas de otras culturas importantes además de la occidental; sin embargo, no es éste nuestro propósito en la presente reseña orientada a la comprensión de la creación de las geometrías no euclidianas.
Vamos a comenzar con una periodizacion historica de las matemáticas, en concordancia con la historia de las sociedades occidentales:

Ø  Una primera etapa podemos decir que fue la greco-romana, donde la fase griega fue más sustantiva y significativa para las ciencias y las matemáticas.

Ø  Una segunda etapa: la época medieval, dominada esencialmente por una atmósfera cultural poco propicia para el progreso de las ciencias y, por ende, un escaso desarrollo social y científico.

Ø  Una tercera etapa: el Renacimiento, donde lo fundamental fue un cambio de actitud frente al conocimiento y frente a la vida.

Ø  Una cuarta etapa fue la Revolución Científica en el siglo XVII y, si se quiere, parte del siglo XVIII.

Ø  Podemos decir que una quinta etapa la constituye el trabajo realizado por los matemáticos del siglo XVIII y parte del XIX, cuya característica esencial fue el desarrollo de los temas y métodos matemáticos generados en la revolución matemática y científica del XVII, con especial énfasis en trabajos relacionados con el Cálculo Diferencial e Integral.

Ø  Una sexta etapa se desarrolla en el siglo XIX, donde los elementos significativos fueron el desarrollo del álgebra y en particular de la teoría de grupos, la geometría proyectiva, las geometrías no euclidianas y la rigorización del análisis y las matemáticas en general.

Se puede decir que en algún momento en esta última etapa emerge la matemática moderna que llega hasta nuestros días. Es una decisión algo convencional el establecer los límites finales de una sexta etapa y el inicio de una sétima, con toda precisión, porque las principales tendencias que todavía dominan las matemáticas, de alguna forma, fueron planteadas y desarrolladas durante el mismo siglo XIX. Aquí no hay detalles matemáticos solo descripción de fases y características históricas globales de interés especial para la comprensión del lugar intelectual que ocupan las geometrías no euclidianas.

EN LA ANTIGÜEDAD GRIEGA

Los primeros desarrollos de la geometría y, en general, de las matemáticas podemos decir que se encuentran alrededor de la cultura helénica, en la Grecia Antigua. Esta cultura fue una base esencial de la civilización occidental.

Los primeros nombres de matemáticos que vienen a nuestra mente son los de Thales de Mileto (circa 625-545 a.C.) y Pitágoras de Samos (c. 580-500 a.c.), aunque no se sabe con exactitud cuáles son los resultados matemáticos que realmente obtuvieron. Probablemente, y a diferencia de otras obras como las de Platón (c. 429.348 a.C.) o Herodoto, no existen obras específicas que nos den certeza sobre sus trabajos y resultados.

Tanto Thales como Pitágoras tuvieron influencia de las civilizaciones del bronce, grandes culturas que dominaron el mundo conocido durante muchos siglos. Es Thales quien se supone que inició la geometría deductiva, y a quien se le atribuye el teorema de que un ángulo inscrito en una circunferencia es recto, y, también, que el círculo es dividido en dos partes iguales por un diámetro.

Una nueva época en la civilización griega comenzó a partir de la conquista realizada por los macedonios, un pueblo del norte de Grecia; se dice que los macedonios destruyeron la civilización griega clásica y generaron la apertura de una nueva fase en la historia griega. La conquista macedonia comenzó con Filipo II alrededor del año 352 a.C., de hecho Atenas fue derrotada en el 338 a.C.; sin embargo, quien más huella dejaría en la historia de la humanidad fue Alejandro El Grande, precisamente hijo de Filipo. Alejandro conquistó Grecia, el Cercano Oriente, Egipto y llegó hasta la India; sin embargo, murió muy pronto y su gran imperio se dividió en tres partes. Una de las partes que más importancia tendría para el desarrollo de Occidente y, en particular, de las ciencias, las técnicas y la matemática, fue el llamado Imperio de los Ptolomeos, cuya ciudad más importante llevó el nombre de Alejandría.

ARQUÍMEDES

La figura matemática más importante de toda la época podemos decir que fue Arquímedes (c.287-212 a.C.), quien estudió en Alejandría; aquel centro del Imperio de los Ptolomeos que fue una base para la cultura y el aprendizaje en el mundo griego.

Además del cálculo de áreas y volúmenes, aproximó el número , y obtuvo grandes resultados en hidrostática, astronomía, y mecánica.

Se afirma que tuvo relación con discípulos de Euclides precisamente en Alejandría y algunos de los detalles de su vida son conocidos por medio de una historia escrita por el famoso Plutarco, 45-120 d.C., (Vidas paralelas: Marcellus), acerca de un general romano llamado Marcelo.

LOS ROMANOS

Durante la época romana si bien se dieron progresos con relación a la organización política y jurídica, a los medios de transporte y distribución, para la cultura no representó una gran victoria: los trabajos en ciencias, matemáticas y en técnicas fueron prácticamente congelados; es decir: un gran retroceso durante siglos para el desarrollo del conocimiento.

EN LA EDAD MEDIA

Se suele considerar la Caída de Roma en el año 476 como el inicio de la Edad Media, y el año 1453, con la Caída de Constantinopla en manos turcas, su final. Se trata de una demarcación en esencia política.;, para la historia de las matemáticas o de la ciencia en general otras fechas sería mejores, pero vamos a seguir la división clásica por propósitos didácticos.

la historia de las matemáticas medievales no fue exclusividad europea; más bien fue el resultado de varias civilizaciones: árabe, india, china, bizantina (Imperio Romano de Oriente) y lo que quedaba del Imperio Romano de Occidente. Cada civilización poseía diferentes lenguas.

Alrededor del siglo XII y siglos previos la sociedad europea fue esencialmente una colección de pueblos aislados y de poco nivel cultural, con la Iglesia Católica como albacea intelectual. Culturalmente durante todo este período no existió mucha relación con la mayor parte del pensamiento clásico griego, distancia que ya se había establecido desde el mismo Imperio Romano.

Durante siglos, la enseñanza, el aprendizaje, el conocimiento escaso que se había rescatado de las culturas griega y romana, estuvieron asociados a la Iglesia Católica y, sobre todo, a las necesidades que ella tenía (como, por ejemplo, en los servicios religiosos y la lectura de los libros sagrados). El latín fue escogido como idioma oficial de la Iglesia, por eso durante todo este período en la enseñanza como en el intercambio de conocimiento fue el latín la lengua que se usó.

 

LOS NUMEROS ENTEROS

Los números enteros son formados por los naturales, los opuestos (los negativos) y claro. el cero. El valor absoluto de un número entero es el que se obtiene al prescindir de su signo.
Estos a su vez se dividen en:
 * Enteros positivos (naturales): se representan por la letra N, estos números nos sirven para contar elementos de un conjunto, el número cardinal, o para expresar una posición o un orden que ocupa un elemento, un número ordinal; estos se obtienen colocando el signo + delante de los números naturales. estos números son ilimitados, pues al sumarle un numero natural a otro del mismo tipo, se obtiene otro número natural.
 * Enteros negativos: los números negativos son menores que cero, se contrapone a los números positivos anteponiendo el signo - e indican: hacia la izquierda, hacia atrás, temperatura bajo cero, etc.

* Cero: no pertenece al conjunto de números positivos ni negativos, es la referencia que separa a ambos grupos.

· Números enteros positivos y números enteros negativos.

Número entero positivo .

Representación gráfica en la recta:

0 1 2 3 4 5

Número entero negativo . Es todo aquel número menor que 0. Se utiliza para representar valores de números menores que 0.

Ej.: (-1), (+9), -5,...

-5 -4 -3 -2 -1 0

** Los números enteros no tienen PARTE DECIMAL, el número 0 (cero) no se considera ni positivo ni negativo.

Al comparar numeros

Representación gráfica en la recta:Suele representarse entre paréntesis. Es todo aquel número mayor que 0. Se utiliza para representar valores de números mayores que 0. Ej.: 3, +6, 8,...

Su representación gráfica en la recta.